j9九游会老哥俱乐部

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                北师大版高中数学选修一第三章:《导数的概念及其几何意义-平均变化率的概念及几何意义》教案


                来源:成都家教网 日期:2020/2/20

                辅导教案

                学生姓名

                 

                 

                 

                年级

                 

                学科

                 

                授课教师

                 

                上课时间

                   年   月   日

                 

                课时:  课时

                教学课题

                 平均变化率的概念及几何意义;

                教学目标

                1.了解平均变化率的几何意义;

                2.会求函数在某点处附近的平均变化率

                 

                教学重点与难点

                平均变化率的概念,导数的几何意义

                教学过程

                教学过程

                   一、复习预习

                问题气球膨胀率

                    我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

                问题2  高台跳水

                在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?

                 

                   二、知识讲解

                本节课主要知识点解析,中高考考点、易错点分析

                考点1平均变化率概念

                1.上述问题中的变化率可用式子  表示, 称为函数f(x)x1x2的平均变化率

                2.若设,  (这里看作是对于x1的一个增量可用x1+代替x2,同样)

                3. 则平均变化率为

                 

                考点2导数的概念

                从函数y=f(x)x=x0处的瞬时变化率是:

                 

                我们称它为函数在出的导数,记作或,即

                                 

                说明:(1)导数即为函数y=f(x)x=x0处的瞬时变化率

                     2,当时,,所以

                考点/3导数的几何意义

                函数y=f(x)x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率

                说明:求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:

                ①求出P点的坐标;

                ②求出函数在点处的变化率 ,得到曲线在点的切线的斜率;

                ③利用点斜式求切线方程.

                 

                 三、例题精析

                【例题1已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,         

                  【答案】

                  【解析】解:

                【例题2在附近的平均变化率

                 【答案】

                【解析】解:,所以

                 

                   所以在附近的平均变化率为

                【例题3求函数y=3x2x=1处的导数.

                  【答案】6

                  【解析】先求Δf=Δy=f(1+Δx)-f()=6Δx+(Δx)2

                  再求再求

                【例题4:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.

                【答案】

                【解析】,

                所以,所求切线的斜率为2,因此,所求的切线方程为

                 

                 四、课堂运用

                【基础】

                   1. 在到之间的平均变化率,并求,时平均变化率的值.

                【解析】当变量从变到时,函数的平均变化率为

                 

                ,时,平均变化率的值为:.

                 

                   2. 求函数y=5x2+6在区间[22+]内的平均变化率

                   【解析】  ,

                所以平均变化率为

                【巩固】

                   1. 自由落体运动的运动方程为,计算t3s3.1s3.01s3.001s各段内的平均速度(位移s的单位为m)。

                【解析】要求平均速度,就是求的值,为此需求出、。

                设在[33.1]内的平均速度为v1,则

                所以

                同理

                 

                 2. 过曲线上两点和作曲线的割线,求出当时割线的斜率.

                 

                【解析】

                 

                      ……

                【拔高】

                   1. 用导数的定义,求函数x=1处的导数

                           

                           

                 

                   2. 已知函数可导,若,,求

                  【解析】    

                    

                      (令t=x2x1t1

                    

                    

                 

                课程小结

                  1.函数yf(x)x1x2的平均变化率

                函数yf(x)x1x2的平均变化率为x2-x1(x1).

                Δxx2x1Δyf(x2)f(x1),则平均变化率可表示为Δx(Δy).

                2函数yf(x)xx0处的导数

                (1)定义

                称函数yf(x)xx0处的瞬时变化率li Δx(Δy)

                li Δx(x0)为函数yf(x)xx0处的导数,记作f(x0)y|xx0,即f(x0)li Δx(Δy).

                (2)几何意义

                函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0f(x0))处切线的斜率.相应地,切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)

                 

                课后作业

                【基础】

                  1. 利用导数的定义求下列函数的导数:

                1

                2

                3

                4

                【解析1

                2

                3

                4

                 

                【巩固】

                  1.求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.

                【解析,

                所以,所求切线的斜率为2,因此,所求的切线方程为

                 

                2.求函数y=3x2在点处的导数.

                【解析因为

                所以,所求切线的斜率为6,因此,所求的切线方程为

                 

                【拔高】

                  1.已知函数可导,若,,求

                【解析

                    

                    

                    

                    

                2.在曲线y=x2上过哪一点的切线:

                1)平行于直线y=4x5

                2)垂直于直线2x6y+5=0

                3)与x轴成135°的倾斜角。

                【解析】

                设所求切点坐标为Px0y0),则切线斜率为k=2x0

                1)因为切线与直线y=4x5平行,所以2x0=4x0=2y0=4

                P24)。

                2)因为切线与直线2x6y+5=0垂直,所以,得,,

                3)因为切线与x轴成135°的倾斜角,所以其斜率为―1。即2x0=1,得,,

                 

                 

                 

                 

                课后作业

                【基础】

                函数在某一点的导数是(  )

                A.在该点的函数的增量与自变量的增量的比

                B.一个函数

                C.一个常数,不是变数

                D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率

                【答案】C

                【解析】由导数定义可知,函数在某一点的导数,就是平均变化率的极限值.

                 

                【巩固】

                质点M的运动规律为s4t4t2,则质点Mtt0时的速度为(  )

                A44t0   B0

                C8t04   D4t04t0(2)

                【答案】C

                【解析】Δss(t0Δt)s(t0)t2t8t0Δt

                Δt(Δs)t48t0

                limΔt→0 Δt(Δs)limΔt→0 (4Δt48t0)48t0.

                 

                【拔高】

                1.函数yf(x),当自变量xx0改变到x0Δx时,Δy(  )

                Af(x0Δx)   Bf(x0)Δx

                Cf(x0)·Δx   Df(x0Δx)f(x0)

                【答案】D

                【解析】Δy看作相对于f(x0)增量,可用f(x0Δx)f(x0)代替.

                 

                2. f(x)xx0处可导,则limΔx→0 Δx(x0)(  )

                A.与x0Δx有关

                B.仅与x0有关,而与Δx无关

                C.仅与Δx有关,而与x0无关

                D.与x0Δx均无关

                【答案】B

                【解析】式子limΔx→0 Δx(x0)表示的意义是求f(x0),即求f(x)x0处的导数,它仅与x0有关,与Δx无关.

                 

                编辑者:成都家教网www.msgtjj.com)