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                中学数学“将军饮马”的七种模式


                来源:成都家教网 日期:2020/4/5
                我们先来看看“将军饮马”这个故事。
                 
                古希腊亚历山大有个着名的学者叫海伦。
                 
                有一天,一位将军特意来千里告诉海伦一个令人费解的问题。 如图所示,将军a从出发起在河边饮马,视察了b地的兵营,显然有很多方法。 我问了路线是怎么最短的。 精通数理的海伦想了一下,给出了完美的答案。 这个问题后来被称为“将军吃马”
                 
                让我们看看数学家是怎么解决的。 海伦发现这是一道折线和最短的数学题
                 
                根据公理,连接两点的所有线段中,线段最短
                 
                a、b在河的另一侧直接连接AB的话,就可以求出AB和l的交点
                 
                很明显,如果a、b是河的同一侧,两点间的线段最短的话,将折线变成直线进行分解
                 
                中学数学“将军饮马”的七种模式
                 
                 
                 
                将军喝海伦解决本问题时,把折线问题作为对称点变成直线
                 
                目前人们把利用对称点解决问题的思想方法称为对称原理,即轴对称思想
                 
                轴对称的两个图形具有以下性质:
                 
                ①关于某条直线对称的两个图形是全等形的
                 
                ②对称轴是任意一对对应点连接的垂直平分线
                 
                两个图形关于某条直线对称,当它们对应线段或延长线相交时,交点位于对称轴上.
                 
                将军饮马的数学问题,考察的知识点是“两点之间的线段最短”、“垂线的线段最短”、“点是线对称”、“线段的平移”。
                 
                解题总构想:寻找线的对称点,从“折”转变为“直”,最近2年从“三折”转变为“直”等变式问题。 有七种模式
                 
                中学数学“将军饮马”的七种模式
                 
                型号1,PA+PB最小
                 
                中学数学“将军饮马”的七种模式
                 
                型号2,PA-PB最小
                 
                中学数学“将军饮马”的七种模式
                 
                型号3,PA-PB最大
                 
                中学数学“将军饮马”的七种模式
                 
                 
                 
                【变形】在不同侧的情况下,也可以询问在直线l上是否存在将直线l作为APB的二等分线的点p
                 
                中学数学“将军饮马”的七种模式
                 
                模型4,周长最短
                 
                中学数学“将军饮马”的七种模式
                 
                模型5“过河”最短距离
                 
                中学数学“将军饮马”的七种模式
                 
                型号6,线段,最小
                 
                中学数学“将军饮马”的七种模式
                 
                 
                 
                中学数学“将军饮马”的七种模式
                 
                型号7,正交坐标系下的运用
                 
                中学数学“将军饮马”的七种模式
                 
                主题很紧张
                 
                1 .如图所示,直线l和l的相反侧的2点a、b在直线l上求出1点p,以使PA+PB最小。
                 
                中学数学“将军饮马”的七种模式
                 
                 
                 
                2 .如图所示,直线l和l的同一侧的2点a、b求出在直线l上PA+PB最小的点p。
                 
                中学数学“将军饮马”的七种模式
                 
                 
                 
                3 .如图所示,点p为mON内的点,分别为OM,on为点a、b。 △使PAB的周长最小
                 
                中学数学“将军饮马”的七种模式
                 
                 
                 
                4 .如图所示,点p、q是mON内的2点,分别设OM、on为点a、b。 使四边形PAQB的周长最小化。
                 
                中学数学“将军饮马”的七种模式
                 
                 
                 
                5 .如图所示,点a是mON以外的点,在线on上形成点p,使PA和点p到线OM的距离之和最小化
                 
                中学数学“将军饮马”的七种模式
                 
                 
                 
                6 .如图所示,点a是mON内的点,在线on上形成点p,使PA和点p到线OM的距离之和最小化
                 
                中学数学“将军饮马”的七种模式
                 
                 
                 
                当已知条件出现求等腰三角形、等腰线、高度或某些折线段的最小值等情况时,通常考虑轴对称变换,对图案进行“补充”并集中条件。
                 
                所有轴对称图形(角、线、等腰三角形、等边三角形、菱形、长方形、正方形、等边梯形、圆、坐标轴)都可以考察“将军吃马”的问题。

                编辑者:成都家教网www.msgtjj.com)